Интегральная сумма - это фундаментальное понятие математического анализа, лежащее в основе определения определенного интеграла. Она представляет собой сумму произведений значений функции на длины малых отрезков разбиения.
Содержание
Определение интегральной суммы
Для функции f(x), заданной на отрезке [a, b], интегральная сумма вычисляется по формуле:
Σ(f(ξi)·Δxi) для i от 1 до n
где:
- [a, b] - интервал интегрирования
- n - количество отрезков разбиения
- Δxi = xi - xi-1 - длина i-го отрезка разбиения
- ξi ∈ [xi-1, xi] - точка внутри i-го отрезка
Виды интегральных сумм
| Тип суммы | Описание | Формула |
| Римана | Наиболее общий случай | Σf(ξi)Δxi |
| Нижняя Дарбу | По минимумам функции | ΣmiΔxi |
| Верхняя Дарбу | По максимумам функции | ΣMiΔxi |
Геометрический смысл
Интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, где:
- Высота каждого прямоугольника равна значению функции в точке ξi
- Ширина равна длине отрезка разбиения Δxi
Связь с определенным интегралом
Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [a, b] равен пределу интегральных сумм при стремлении максимальной длины отрезков разбиения к нулю:
∫abf(x)dx = limλ→0Σf(ξi)Δxi
где λ = max(Δxi) - мелкость разбиения.
Условия существования интеграла
- Функция должна быть ограничена на отрезке [a, b]
- Функция должна быть интегрируемой (например, непрерывной или иметь конечное число точек разрыва)
- Предел интегральных сумм должен существовать и не зависеть от способа разбиения и выбора точек ξi
Пример вычисления
| Функция | Интервал | Интегральная сумма |
| f(x) = x2 | [0, 1] | Σ(i/n)2·(1/n) для i от 1 до n |
| f(x) = 2x + 1 | [1, 3] | Σ(2(1+2i/n)+1)·(2/n) |
Интегральные суммы широко применяются не только в теоретических выкладках, но и в численных методах вычисления интегралов, таких как методы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
